3.2 一般形式的柯西不等式

　　一、教学目标

　　1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．

　　2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．

　　二、课时安排

　　1课时

　　三、教学重点

　　1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．

　　2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．

　　四、教学难点

　　1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．

　　2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．

　　五、教学过程

　　（一）导入新课

　　已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．

　　【解】　由柯西不等式得

　　(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.

　　∵x＋2y＋z＝1，

　　∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.

　　当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为.

　　（二）讲授新课

　　教材整理1　三维形式的柯西不等式

　　设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥

　　.当且仅当 或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．

　　教材整理2　一般形式的柯西不等式

　　设a1，a2，a3，...，an，b1，b2，b3，...，bn是实数，则

　　(a＋a＋...＋a)(b＋b＋...＋b)≥ .当且仅当bi＝0(i＝1,2，...，n)或存在一个数k，使得ai＝ (i＝1,2，...，n)时，等号成立．

　　（三）重难点精讲

题型一、利用柯西不等式求最值