第一章导数及其应用 1.1变化率与导数3

------------ 学 案

一、学习目标

1.使学生掌握函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线的斜率.

2.会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会"以直代曲"的数学思想方法.

二、自主学习

1．利用导数的几何意义求曲线上一点的切线

(1)若验证所给点(，)适合曲线方程，则为曲线上的切点：

(2)求出函数y＝f(x)在点处的导数f′()；

(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－＝f′()(x－)．

2．利用导数的几何意义求曲线外一点的切线

(1)验证所给点(，)不适合曲线方程，则为曲线外一点；

(2)设曲线上的切点为(，)；

(3)通过切点在曲线上建立一个方程

(4)利用切线斜率等于曲线切点的导数值建立第二个方程；

(5)求得切点为(，)，得到导数值即直线的斜率；

(6)利用点斜式写出直线方程.

三、合作探究

题型一 求曲线上点的切线方程

例1　已知曲线y＝上一点P(1,2)，用导数的定义求在点P处的切线的倾斜角和切线方程．

思路导析：由题意可知，给出的点在曲线上，故为切点；则求出曲线在该点处的导数即为切线的斜率，再由点斜式求出直线方程．

解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－.

∴＝＝＝，

k=

∴tanα＝1，∴α＝45°.