1．3 导数在研究函数中的应用

1．3.1 函数的单调性与导数

考点一：判断函数的单调性

[解析] ∵y′＝3ax2，又x2≥0.

(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增；

(2)当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减；

(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．

　　2、已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．

　　[解析] 由题设知a≠0，

　　f′(x)＝3ax2－6x＝3ax.

　　令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.

　　当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0，

　　所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数；

　　若x∈，则f′(x)<0，

　　所以f(x)在区间上是减函数．

　　若x∈，则f′(x)>0，

　　所以f(x)在区间上是增函数．

　　当a<0时，若x∈，则f′(x)<0，

　　所以f(x)在区间上是减函数．

　　若x∈，则f′(x)>0，

　　所以f(x)在区间上是增函数．

若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0，