3.2.4　二面角及其度量

　　学习目标：1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点)

　　[自 主 预 习·探 新 知]

　　1．二面角的概念

　　(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．

　　(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，也可记作2∠l，二面角的范围为[0，π]．

　　(3)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角．

　　思考：如何找二面角的平面角？

　　[提示]　(1)定义法

　　由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．

　　(2)垂面法

　　作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．

　　(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．

　　2．用向量的夹角度量二面角

　　设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量．

　　(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉．

　　(2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．

[基础自测]