三　空间向量与立体几何

　　　[学生用书P81]

　　1．空间向量的有关定理和推论

　　(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

　　(2)共线向量定理的推论：若\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是 \s\up6(→(→)＝λ \s\up6(→(→)＋μ \s\up6(→(→)，且λ＋μ＝1.

　　(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.

　　(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则P，A，B，C四点共面的充要条件是\s\up6(→(→)＝x \s\up6(→(→)＋y \s\up6(→(→)＋z \s\up6(→(→)(其中x＋y＋z＝1)．

　　(5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．

　　2．空间向量运算的坐标表示

　　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

　　(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，

　　a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，

　　λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

　　(2)重要结论

　　a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；

　　a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

　　3．模、夹角和距离公式

　　(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

　　①|a|＝＝；

　　②cos〈a，b〉＝＝ .

　　(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则

　　dAB＝|\s\up6(→(→)|＝.

　　4．空间向量的运算与线面位置关系的判定

(1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，