1　利用导数研究函数单调性常见题型

1．运用导数求函数的单调区间

利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，得单调区间．

例1　求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．

解　由已知，得当f′(x)＝(ex－1)(x＋1)＝0时，有x＝0或x＝－1.

当x<－1时，f′(x)>0；当－1

当x>0时，f′(x)>0.

故f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．

点评　单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用"∪"连接，中间用"，"或"和"连接．

例2　已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的递减区间为________．

分析　先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义域解f′(x)<0即可．

解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋3－.

令f′(x)<0，即2x＋3－＝<0，

结合定义域知x>0，且2x2＋3x－2<0，解得0

即函数f(x)的递减区间为.

答案　

点评　求解该类问题时要注意两点：①不要忽视定义域；②如有多个递增(减)区间，不要把这些区间取并集．

2．证明不等式

例3　求证：当x>1时，ln x>－.