课堂导学

三点剖析

一、求函数极值

【例1】 确定函数f(x)=在区间［-2,2］上的单调性并求f(x)在区间［-2,2］上的极大值、极小值、最大值和最小值.

解：由已知得f′(x)=.

令f′(x)=0,解得x=-1或x=1.列出下表:

x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可知，f(x)的极小值是f(-1)==;极大值是f(1)=.

又f(-2)=,f(2)=,

∴f(x)在区间［-2,2］上的最大值是,最小值是.

温馨提示

对任意实数x,x2+1≠0,

即函数f(x)=的定义域为R.又∵=0,

∴f(x)在R上的最大值与最小值还分别为和.

又f(0)=0,∴函数f(x)=在R上的值域为［,］.

二、极值的应用

【例2】 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.

解：由已知,得f(1)=1-3a+2b=-1,

又f′(x)=3x2-6ax+2b ①

∴f′(1)=3-6a+2b=0 ②

由①②得a=,b=.

故函数的解析式为f(x)=x3-x2-x.

由此得f′(x)=3x2-2x-1,由二次函数的性质,当x<或x>1时,f′(x)>0;当

三、利用函数极值求函数的解析式

【例3】 设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.试确定常数a和b的值.