1．4．1 算法案例(1)

教学目标

（1）介绍中国古代算法的案例－韩信点兵－孙子问题；

（2）用三种方法熟练的表示一个算法；

（3）让学生感受算法的意义和价值．

教学重点、难点:不定方程解法的算法．

教学过程

一、问题情境(韩信点兵-孙子问题)：

韩信是秦末汉初的著名军事家。据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。

韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。

在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人。众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。同学们，你知道吗？

背景说明:

1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是："今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」"

2．孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；

3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做"大衍求一术"。在中国还流传着这么一首歌诀：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，

除百零五便得知。

　　它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。 所得结果就是某数的最小正整数值。

用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：

2×70+3×21+2×15=233，

233－105×2=23，

即所求物品最少是23件。

二.算法设计思想:

"孙子问题"相当于求关于的不定方程组的的正整数解；

设所求的数为，根据题意应该同时满足下列三个条件：