1．绝对值三角不等式

　　　　　　　　　　　　　　　 对应学生用书P11

　　绝对值三角不等式

　　(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

　　几何解释：用向量a，b分别替换a，b.

　　①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．

　　②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|<|a|＋|b|.

　　由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．

　　③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

　　(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.

　　当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

　　几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，

　　当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.

　　当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；

　　②点B不在A，C上时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.

　　应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．

　　　　　　　　　　　　　　 　对应学生用书P11

含绝对值不等式的判断与证明 　　[例1]　已知|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<.

　　求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|

　　[思路点拨]　变形定理―→

[证明]　|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|