圆的方程 教案

　　　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

　　(1)求线段AP中点的轨迹方程；

　　(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

　　[解]　(1)设AP的中点为M(x0，y0)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x0－2,2y0)．

　　因为P点在圆x2＋y2＝4上，

　　所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4.

　　故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

　　(2)设PQ的中点为N(x′，y′)．

　　在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

　　设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

　　所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

　　所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4.

　　故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

　　求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法

　　(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．

　　(2)定义法：根据圆的定义写出方程．

　　(3)几何法：利用圆的性质列方程．

　　(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

　　(2018·唐山一中调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

　　A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

　　B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

　　C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1