2019-2020学年北师大版选修2-2 微积分基本定理 学案

1．微积分基本定理

如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．

2．定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则

(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃf(x)dx＝S上．

(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃf(x)dx＝－S下．

(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃf(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃf(x)dx＝0.

情境导学]

从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃx3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念--导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？

探究点一　微积分基本定理

问题　你能用定义计算ʃdx吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？

思考1　如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？