导数的应用 教案

一、知识梳理: （阅读选修教材2-2第18页-第22页）

1.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:

求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数

　　①为增函数（为减函数）.

　　②在区间上是增函数≥在上恒成立；

　　在区间上为减函数≤在上恒成立.

2.极值：

极大值： 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.

极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.

极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.

（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值.

（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

判别是极大、极小值的方法:

若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足"左正右负"，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足"左负右正"，则是的极小值点，是极小值.

求可导函数的极值的步骤:

确定函数的定义区间，求导数求方程的根

用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .