生活中的优化问题

[学习目标]　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题.3.学会建立数学模型，并会求解数学模型.

知识点一　利用导数解决生活中的优化问题的步骤

1.分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

2.求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

3.比较函数在区间端点和在f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.

思考　(1)什么是优化问题？

(2)优化问题的常见类型有哪些？

答案　(1)在生活中，人们常常遇到求使经营利润最大、用料最省、费用最少、生产效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.

(2)费用最省问题，利润最大问题，面积、体积最大问题等.

知识点二　解决优化问题的基本思路

思考　解决生活中优化问题应注意什么？

答案　(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式；

(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域；

(3)在实际问题中，由f′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值(极小值)，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大值(最小值)；

(4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，例如，长度、宽度应大于0，销售价格为正数等.

题型一　利润最大问题

例1　某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量就会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元/件，0≤x≤21)的平方成正比.已知每件商品的售价降低2元时，一星期多卖出24件.