§4　曲线与方程

4．1　曲线与方程

学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．

知识点一　曲线的方程和方程的曲线的概念

在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，

那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．

知识点二　坐标法思想及求曲线方程的步骤

思考　曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．

答案　不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为"以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分"与方程"x2＋y2＝4"，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.

梳理　(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．

(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．

(3)求曲线的方程的步骤