3.1.5空间向量的数量积

教学目标

1．知识与技能

(1) 掌握空间向量的定义及数量积公式．

(2)掌握空间向量的数量积的坐标运算．

(3)掌握向量垂直的充要条件．

(4)掌握向量模长及夹角公式．

2．过程与方法

(1)通过比较平面向量、空间向量的数量积运算，培养学生观察、分析、类比转化的能力．

(2) 通过向量数量积的运算过程，培养学生基本的运算能力．

(3)通过向量数量积的应用，学会向量法探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高学生分析问题、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式．(2)通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学的魅力，激发学生学数学、用数学的热情．

重点难点

重点：空间向量数量积公式及其应用．

难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题．

空间向量的夹角

问题导思

a，b与b，a相等吗？a，b与a，－b呢？

【答案】　a，b＝b，a，a，b＝π－a，－b．

　　a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作\s\up10(→(→)＝a，\s\up10(→(→)＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角．记法：向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，a，b的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

空间向量的数量积

　　设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

我们规定：零向量与任一向量的数量积为0.

cosa，b＝(a，b是两个非零向量)．

a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．