互动课堂

疏导引导

1.全称量词、存在量词的概念

全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语，大量的数学命题都要使用这样的逻辑用语.例如命题：

(1)我们班所有的学生都是共青团员；(2)每一个有理数都能写成分数的形式；(3)有些三角形是直角三角形；(4)如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个是正数；(5)正方形是菱形.

以上命题中出现了"所有的"、"每一个"、"有些"、"至少有一个"等词语.其中，"所有"、"每一个"、"一切"等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这些词都是全称量词；"有些"、"至少有一个"、"存在"等都表示个别或一部分的含义，这些词都是存在量词.含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性命题(也常称为特称命题).因此，命题(1)、(2)称为全称命题，命题(3)、(4)称为存在性命题，而命题(5)中却没有明显的表示全称或存在的量词，但命题(5)隐含了表示"都"的意思，其原意可表示为"任一正方形都是菱形"，因此，命题(5)为全称命题.

2.全称命题与存在性命题真假的判断

判断一个全称命题为假命题时，通常"举反例"来否定此命题为假；

判断一个存在性命题为真命题时，通常"找特例"来肯定此命题为真.

有的命题可能同时含有多个量词，这些量词可能都是全称量词，也可能都是存在量词，也可能既含有全称量词又含有存在量词，如：命题"每一个等腰三角形的两个底角相等"，命题"过直线外一点存在唯一的一条直线与该直线平行"，就使用了全称量词和存在量词.但对这些含多个量词的命题我们不深入研究.

3.含有一个量词的命题的否定

就是把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.须遵循如下法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

规律小结：从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.

4.量词的否定形式

(1)对量词和判断词的否定：

①判断词"是"的否定是"不是"；"有"的否定是"没有"；"存在"的否定是"不存在".

②量词"所有"的否定是"不所有"即"有的"；"每一个"的否定是"至少有一个不"；"都是"的否定是"不都是"即"至少有一个不是"；"都不是"的否定是"不都不是"即"至少有一个是"，注意不要把"都是"的否定错认为是"都不是".

(2)①对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定.

②对存在性命题的否定要把否定存在量词变成全称命题.

5.对存在性命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词.但解题中遇到了省略"所有，任何，任意"等量词的简化形式，这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.

如"整数是有理数"就是全称命题"所有整数都是有理数"；它的命题的否定是"有的整数不是有理数".

如存在性命题"有的实数的平方不是正数"的否定是"所有实数的平方都是正数"；

如：写出命题"对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0."的否定.

解析：若一个命题中，既含有全称量词，又含有存在量词(这类命题是大纲所不要求掌握的)