3.3.2 均匀随机数的产生

项目 内容 课题 3.3.2 均匀随机数的产生

　　　　　　　　　　　　（共 1 课时） 修改与创新 教学

目标 1.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；自觉养成动手、动脑的良好习惯.

2.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.学习时养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力.

教学重、

难点 教学重点：掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.

教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 教学

准备 多媒体课件 教学过程

思路1

在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生.

思路2

复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？这节课我们接着学习下面的内容,均匀随机数的产生.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？

(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？

(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？

(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.

(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数.

(6)［a,b］上均匀随机数的产生.

活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.

讨论结果：

(1)在一个试验中如果

a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.

古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=.

(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

几何概型的基本特点：

a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

b.每个基本事件出现的可能性相等.

几何概型的概率公式：P（A）=.

(3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可.

(4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0-1之间的均匀随机数(实数),方法如下：

试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0-1之间的均匀随机数进行随机模拟.

(5)a.选定A1格,键入"=RAND（）",按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.

b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2-A50,B1-B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2-A50, B1-B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.

(6)［a,b］上均匀随机数的产生：

利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,

然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均匀随机数,试验结果是［a,b］内任何一实数,并且是等可能的.

这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.

应用示例

思路1

解法一：1.选定A1格,键入"=RAND（）",按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.

2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2-A50,B1-B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2-A50,B1-B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.

3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.

4.选定D1格,键入"=A1-B1"；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2-D50,按Ctrl+V.

5.选定E1格,键入频数函数"=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）",按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.

6.选定F1格,键入"=1-E1/50",按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.

解法二：以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：

由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以P(A)=.

例2 在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.

解法1：随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即

假设正方形的边长为2,则.

这样就得到了π的近似值.

解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND（）.

（2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2.

（3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=（N代表落在正方形中的点（a,b）的个数）.

点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.

例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.

分析：师生共同讨论,在坐标系中画出矩形（x=1,x=-1,y=1和y=-1所围成的部分）,利用模拟的方法根据落在阴影部分的"豆子"数和落在矩形的"豆子"数的比值,等于阴影面积与矩形面积的比值.

解：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b=RAND（）.

（2）进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2.

（3）数出落在阴影内（即满足00）的样本点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.

例如做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=698,所以S≈=1.396.

（N代表落在矩形中的点（a,b）的个数）.

知能训练

有一个半径为5的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况,试求硬币完全落入圆内的概率.

解：由题意,如右图,因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的,所以硬币的中心均匀地分布在半径为6的圆O内,且只有中心落入与圆O同心且半径为4的圆内时,硬币才完全落入圆内.

记"硬币完全落入圆内"为事件A,则P(A)=.

答：硬币完全落入圆内的概率为.

拓展提升

如右图,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,

试求：（1）△AOC为钝角三角形的概率；

（2）△AOC为锐角三角形的概率.

解：如右图,由平面几何知识：

当AD⊥OB时,OD=1；

当OA⊥AE时,OE=4,BE=1.

（1）当且仅当点C在线段OD或BE上时,△AOC为钝角三角形,

记"△AOC为钝角三角形"为事件M,则P(M)==0.4,

即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.

（2）当且仅当点C在线段DE上时,△AOC为锐角三角形,

即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.

课堂小结

均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.

作业

课本习题3.3B组题.