课堂导学

三点剖析

1.周期函数与周期的意义

【例1】 走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？

解:如右图，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置，设θ=∠PON为摆动的幅角，而y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知：y=rsinθ.

友情提示

实际生活中有许多呈周期性变化的规律,比如:月亮的圆缺;年,月,日,星期的记时;海水的涨落,这些都是呈周期性变化的.

各个击破

类题演练 1

时钟钟摆的摆动呈什么规律，根据你平时的观察用文字叙述一下.

答案:钟表的钟摆呈周期性变化，它从最低点摆向右，再回到最低点，再摆向左，又回到最低点.完成一个周期.

变式提升 1

举出你生活中常见的具有周期性的实例.

答案：转动的车轮、月亮的圆缺、星期记时、红绿灯的变换.

2.求函数的周期

【例2】 已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2)，求证：函数y=f(x)的周期为4.

证明：令x-2=t，则x=t+2，于是由f(x+2)=f(x-2),得f(t)=f［(t+2)+2］=f(t+4).

由周期函数的定义知：函数y=f(x)的周期为4.

友情提示

证明周期函数最常用的是定义，此类问题中常用换元法，把括号内的代数式看作整体，用新的自变量代替，再按定义求解.

类题演练 2

判断函数y=lgx是否是周期函数？如果是，求出它的一个周期.

解：取定义域内一个值x0=1.由于f(x0+T)=lg(x0+T)=lg(1+T)≠lg1(T＞0的常数)，于是f(x)=lgx不是周期函数.

变式提升 2

已知定义在实数集上的函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).

判断y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数，求出它的一个周期.

解：∵f(x+4)=f［2+(x+2)］=-f(x+2)

=-［-f(x)］=f(x),

∴f(x)是周期函数，且周期是4.

3.判断函数是否具有周期性

【例3】 求下列函数的周期：（1）y=sin2x;(2)y=2sin(2x-).