3.1.3　两个向量的数量积

学习目标　1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．

知识点一　两个向量的夹角

1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作\s\up6(→(→)＝a，\s\up6(→(→)＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．

2．范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.

知识点二　两个向量的数量积

1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.

规定：零向量与任何向量的数量积都是0.

2．数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c

注意：空间向量的数量积不满足结合律。

知识点三　两个向量的数量积的性质

两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④|a·b|≤|a|·|b|

1．向量\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)的夹角等于向量\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)的夹角．(　×　)

2．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　×　)