§3.2　函数模型及其应用

　　1．几类不同增长的函数模型及其增长差异

　　分别作出函数y=2x，y=log2x，y=x2在第一象限的图象如图．函数y=log2x刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快．函数y=2x和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)．在x∈(2,4)时，log2x<2x4时，log2x

　　一般地，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=ax (a>1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个"档次"上．

　　随着x的增大，y=ax (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．

　　因此，总会存在一个x0，使当x>x0时，就有logax

　　这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长．

　　[例]下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)

　　A．y＝1，x∈Z　　B．y＝x　　C．y＝2x　　D．y＝ex

　　解析　指数函数模型增长速度最快，并且e>2，因而y＝ex增长速度最快．

　　答案　D

　　2．几类常见的函数模型

　　(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b (k、b为常数，k≠0)；

　　(2)反比例函数模型：f(x)＝＋b (k、b为常数，k≠0)；

　　(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数，a≠0)；

　　注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．

　　(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c (a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；

　　(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n (m、n、a为常数，a>0，a≠1)；

　　说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．

　　(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；

　　(7)分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．

　　3．通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：

　　(1)收集数据；

　　(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点；

　　(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；

(4)选择其中的几组数据求出函数模型；