4．3导数在研究函数中的应用

　　4．3.1　利用导数研究函数的单调性

　　[读教材·填要点]

　　函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：

导函数的正负 函数在(a，b)上的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常数函数 　　

　　[小问题·大思维]

　　1．在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？

　　提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．

　　2．右图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？

　　提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；

　　单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．

判断(或证明)函数的单调性 　　

　　 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．

　　[自主解答]　 由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，

　　令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.

　　当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.

　　∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．

　　若x∈，则f′(x)<0，

∴f(x)在区间上为减函数．