第三讲 圆锥曲线性质的探讨

　　[对应学生用书P37]

　　1．正射影的概念

　　给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．

　　一个图形上点A′所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．

　　2．平行射影

　　设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．

　　一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．

　　3．正射影与平行射影的联系与区别

　　正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．

　　4．两个定理

　　(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．

　　(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则

　　①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆．

　　②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线．

　　③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．

　　[对应学生用书P37]

平行射影 　　[例1]　如果椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行射影是(　　)

　　A．椭圆　　　　　　　　　 B．圆

　　C．线段 D．射线

　　[思路点拨]　要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．

[解析]　因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向