§2.5　圆锥曲线的共同性质

学习目标　1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.

知识点　圆锥曲线的共同性质

思考　圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？

答案　如图，过点M作MH⊥l，H为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知M∈{M|FM＝eMH}.

取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系.设点M的坐标为(x，y)，则

OM＝.①

设直线l的方程为x＝－p，则MH＝|x＋p|.②

把①，②代入OM＝eMH，

得＝e|x＋p|.

两边平方，化简得(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.

这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质.

梳理　(1)圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比等于常数e.当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.

(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的准线方程为x＝±，＋＝1(a>b>0)的准线方程为y＝±.

双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为y＝±.

1.若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线.(　×　)

2.双曲线x2－y2＝1的准线方程为x＝±.(　√　)

3.＋＝1上的点到左准线的距离是，则该点到右准线的距离是8.(　√　)