3．三个正数的算术-几何平均不等式

　　1．定理3

　　如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．

　　(1)不等式≥成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a＝b＝c.

　　(2)定理3可变形为：①abc≤3；②a3＋b3＋c3≥3abc.

　　(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即"一正，二定，三相等"．

　　2．定理3的推广

　　对于n个正数a1，a2，...，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝...＝an时，等号成立．

用平均不等式证明不等式 　　　　[例1]　设a，b，c∈R＋，求证：

　　(a＋b＋c)2≥27.

　　[思路点拨]　本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题．

　　[证明]　∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3>0，

　　从而(a＋b＋c)2≥9>0，

　　又＋＋≥3>0，

　　∴(a＋b＋c)2

　　≥3·9＝27.

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．