【考试要求】　

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

【知识梳理】

1.圆的定义和圆的方程

定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；

(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.

【微点提醒】

1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.

2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打"√"或"×")

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)

(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)

(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.(　　)

(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)

【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

【解析】　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.

(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时表示圆.

【教材衍化】

2.(必修2P124A1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)

A.(2，3)，3 B.(－2，3)，

C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，

【答案】　D

【解析】　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.

3.(必修2P130例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)

A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4

C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

【答案】　C

【解析】　设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.