3.2 一般形式的柯西不等式

　　预习案

　　一、预习目标及范围

　　1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．

　　2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．

　　二、预习要点

　　教材整理1　三维形式的柯西不等式

　　设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥

　　.当且仅当 或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．

　　教材整理2　一般形式的柯西不等式

　　设a1，a2，a3，...，an，b1，b2，b3，...，bn是实数，则

　　(a＋a＋...＋a)(b＋b＋...＋b)≥ .当且仅当bi＝0(i＝1,2，...，n)或存在一个数k，使得ai＝ (i＝1,2，...，n)时，等号成立．

　　三、预习检测

　　1.已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)

　　A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．2

　　2.已知a＋a＋...＋a＝1，x＋x＋...＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋...＋anxn的最大值是(　　)

　　A．1 B．2 C．3 D.4[来源:学&科&网]

　　3．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为________.

　　探究案

　　一、合作探究

　　题型一、利用柯西不等式求最值

　　例1　已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．

　　【精彩点拨】　由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．

　　[再练一题]

1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．