基础知识整合

1．曲线与方程

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是\s\up5(01(01)这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在\s\up5(02(02)曲线上．

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

2．曲线的交点

设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的\s\up5(03(03)实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．

3．求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系--建立适当的坐标系；

(2)设点--设轨迹上的任一点P(x，y)；

(3)列式--列出动点P所满足的关系式；

(4)代换--依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；

(5)证明--证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

1．"曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线"是"曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解"的充分不必要条件．

2．求轨迹问题常用的数学思想

(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．

(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是"数"与"形"的有机结合．

(3)等价转化思想：通过坐标系使"数"与"形"相互结合，在解决问题时又需要相互转化．

1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)

A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4

C．x2＋y2＝2(x≠±) D．x2＋y2＝4(x≠±2)

答案　D

解析　MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即顶点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.

2．(2019·金华模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)

A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0

C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0

答案　D