1.3　中国古代数学中的算法案例

[学习目标]

1．了解割圆术中无限逼近的数学思想．

2．理解更相减损术的含义，了解其执行过程．

3．掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．

[知识链接]

1．20和30的最大公约数为10.

2．已知函数f(x)＝x2＋2x－1，计算f(1)的值时用了2次乘法和2次加法运算；当函数变为f(x)＝(x＋2)x－1，求f(1)时，用了1次乘法运算和2次加法运算．

[预习导引]

1．更相减损术

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．

2．割圆术的算法思想

刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是"割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"．

3．秦九韶算法

把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋...＋a1x＋a0改写成如下形式：

(...((anx＋an－1)x＋an－2)x＋...＋a1)x＋a0，