2019-2020学年北师大版选修2-2 导数的应用 教案

　　1．函数的导数与单调性的关系

　　函数y＝f(x)在某个区间内可导，则

　　(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。

　　(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。

　　(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。

　　2．函数的极值与导数

　　(1)函数的极小值

　　若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。

　　(2)函数的极大值

　　若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。

　　3．函数的最值与导数

　　(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：

　　一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。

　　(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：

　　①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

　　②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

　　1．函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，"f′(x)>0在(a，b)上成立"是"f(x)在(a，b)上单调递增"的充分不必要条件。

　　2．对于可导函数f(x)，"f′(x0)＝0"是"函数f(x)在x＝x0处有极值"的必要不充分条件。如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点。

　　一、走进教材

　　1．(选修2－2P26练习T1(2)改编)函数y＝x－ex的单调递减区间为(　　)

　　A．(－∞，0) B．(0，＋∞)

　　C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)

　　解析　y′＝1－ex<0，所以x>0。故选B。

　　答案　B

2．(选修2－2P32A组T5(4)改编)函数f(x)＝2x－xlnx的极值是(　　)