§2　排序不等式

　　1.了解排序不等式的意义，理解排序不等式的实质.

　　2.能用排序不等式证明简单的问题.

　　定理1设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc，当且仅当a＝b(或c＝d)时取"＝"号．

　　顺序和，乱序和，逆序和的概念

　　设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，j1，j2，j3是1，2，3的任一排列方式．

　　通常称a1b1＋a2b2＋a3b3为顺序和，a1bj1＋a2bj2＋a3bj3为乱序和，a1b3＋a2b2＋a3b1为逆序和(倒序和)．

　　定理2(排序不等式)　设有两个有序实数组，a1≥a2≥...≥an及b1≥b2≥...≥bn，则a1b1＋a2b2＋...＋anbn≥a1bj1＋a2bj2＋...＋anbjn≥a1bn＋a2bn－1＋...＋anb1．

　　其中j1，j2，...，jn是1，2，...，n的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝...＝an(或b1＝b2＝...＝bn)时取"＝"号．

　　(1)排序不等式又称排序原理，可以简单的记作：逆序和≤乱序和≤顺序和，排序不等式取等号的条件a1＝a2＝...＝an或b1＝b2＝...＝bn要牢记．

　　(2)排序不等式也有广泛的应用，许多重要的不等式(如柯西不等式、平均不等式等)都可以由它推得．此外，它在涉及最优化问题的实际生活中也是重要的解决工具．

　　(3)排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．

　　已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1，2，3，4，5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1＋a2c2＋...＋a5c5的最大值和最小值分别是多少？

　　提示：由顺序和最大，知最大值为a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304.

　　由逆序和最小，知最小值为：a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.