基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

[学习目标]　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.

知识点一　导数运算法则

法则 语言叙述 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 ′＝(g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方

思考　(1)函数g(x)＝c·f(x)(c为常数)的导数是什么？

(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？

(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？

答案　(1)g′(x)＝cf′(x).

(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f(x)＝sin x＋，g(x)＝cos x－，则f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，但它们的和f(x)＋g(x)＝sin x＋cos x在x＝0处可导.

(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±...±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±...±f′n(x).

知识点二　复合函数的导数

复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)) 复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积