1．5 定积分的概念

考点一：曲边梯形面积的求解

1、求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．

　　[解析] (1)分割

　　将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，...，把区间[0,1]等分成n个小区间：

，，...，，...，，简写作(i＝1,2，...，n)．

　　每个小区间的长度为Δx＝－＝.

过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，...，ΔSi，...，ΔSn.

(2)近似代替

用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：

　　在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，...，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用以点ξi坐标f(ξi)＝为其一边，以小区间长度Δx＝为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈f(ξi)Δx＝·(i＝1,2，...，n)．

　　(3)求和

　　因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即

　　S＝Si≈(ξi)Δx

　　＝·

　　＝[02＋12＋22＋...＋(n－1)2]－[0＋1＋2＋...＋(n－1)]

　　＝·n(n－1)(2n－1)－·

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