§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
知识点一 充分条件与必要条件
1.当命题"如果p,则q"经过推理证明判定为真命题时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
这几种形式的表达,讲的是同一个逻辑关系,只是说法不同而已.
2.若p⇒q,但q⇏p,称p是q的充分不必要条件,若q⇒p,但p⇏q,称p是q的必要不充分条件.
知识点二 充要条件
1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,此时,我们说,p是q的充分且必要条件,简称充要条件.p是q的充要条件,又常说成q当且仅当p,或p与q等价.
2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A⊆B,则p是q的充分条件,若A(B,则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件,若B(A,则p是q的必要不充分条件 若A=B,则p,q互为充要条件 若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
1.若p是q的充分条件,则p是唯一的.( × )
2."若p,则q"是真命题,而"若q,则p"是假命题,则p是q的充分不必要条件.( √ )
3.q不是p的必要条件时,"p⇏q"成立.( √ )