2. 3数学归纳法

课前预习学案

一、预习目标：

理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解"归纳奠基"和"归纳递推"两者缺一不可。

　　二、预习内容：

　　提出问题：

　　问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知 ，( n=1,2,3...)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．

　　问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)

这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下...最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．

　　讨论问题：

　　问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么

结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．

　　上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？

　　在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．

如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．

　　解决问题：

　　由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)证明当n取第一个值()时命题成立；

(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．