2.1.2　数列的递推公式(选学)

学习目标　1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.

知识点一　递推公式

如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.

特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.

(2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式.

(3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.

知识点二　递推公式与通项公式的比较

通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.

思考　(1)已知求a4；

(2)已知an＝2n，求a4.

答案　(1)a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋2＝6，a4＝a3＋2＝8；

(2)a4＝2×4＝8.

1.数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N＋，则a2＝2a1.(　√　)

2.利用an＋1＝2an，n∈N＋可以确定数列{an}.(　×　)

3.an＝n与y＝x的图象是相同的.(　×　)

4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示.(　√　)

题型一　由数列前若干项归纳递推公式

例1　图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式.