3．1.2　空间向量的数乘运算

　　　1.掌握空间向量的数乘运算．　2.理解共线向量定理及推论．　3.理解共面向量定理及推论．

　　　[学生用书P50]

　　1．向量的数乘运算

定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘 几何

定义 λ＞0 λa与向量a方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 　　

　　(1)非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．

　　(2)由于向量a，b可平移到同一个平面内，故a±b，λa，λb，λ(a±b)也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．　　

　　2．平行(共线)向量与共面向量

平行(共线)向量 共面向量 定义 位置关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 平行于同一个平面的向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量共线 充要

条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 推论 对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)＋ta，其中向量a为直线l的方向向量或在直线l上取向量\s\up6(→(→)＝a，则\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)＋t\s\up6(→(→) 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使\s\up6(→(→)＝x\s\up6(→(→)＋y\s\up6(→(→)或对空间任意一点O，有\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)＋x\s\up6(→(→)＋y\s\up6(→(→)