§5　夹角的计算

学习目标 重难点 1．会求两直线间的夹角．

2．会用向量法求两平面的夹角．

3．会用向量法求直线与平面的夹角. 重点：求两直线的夹角．

难点：分析所成角的大小及法向量求法．

关键：确定点的坐标. 　　

　　1．直线间的夹角

　　(1)当两条直线l1和l2____时，我们把两条直线交角中，范围在____________________内的角叫作两直线的夹角．当直线异面时，我们在一条直线上取一点，作另一直线的______，与该直线所成的角叫作异面直线的夹角．

　　(2)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.

　　当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；

　　当＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于________________．

　　预习交流1

　　议一议：为什么空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定？

　　2．平面间的夹角

　　(1)平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线______________，在平面π2上作直线________________，则l1∩l2＝R.我们把直线__________________叫作平面π1与π2的夹角．

　　(2)已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2.

　　当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于__________________；

　　当＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于______________________．

　　预习交流2

　　思考：如上图，若在直线l上选取不同于R的点P，过点P在平面π1上作直线a⊥l，在平面π2上作直线b⊥l，那么直线a和b的夹角与直线l1与l2的夹角是否相等？

　　3．直线与平面的夹角

　　(1)平面外一条直线与它在该平面内的____的夹角叫作该直线与此平面的夹角．

　　(2)如果一条直线与一个平面________________，我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平面____，我们规定这条直线与平面的夹角是.

　　预习交流3

　　想一想：直线与平面的夹角θ和该直线的方向向量s与该平面的法向量n的夹角〈s，n〉是什么关系？