典例精析
题型一 直线与圆锥曲线交点问题
【例1】若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点,求实数a的值.
【解析】联立方程组
(1)当a=0时,方程组恰有一组解为
(2)当a≠0时,消去x得y2-y-1=0,
①若=0,即a=-1,方程变为一元一次方程-y-1=0,
方程组恰有一组解
②若≠0,即a≠-1,令Δ=0,即1+=0,解得a=-,这时直线与曲线相切,只有一个公共点.
综上所述,a=0或a=-1或a=-.
【点拨】本题设计了一个思维"陷阱",即审题中误认为a≠0,解答过程中的失误就是不讨论二次项系数=0,即a=-1的可能性,从而漏掉两解.本题用代数方法解完后,应从几何上验证一下:①当a=0时,曲线y2=ax,即直线y=0,此时与已知直线y=x-1 恰有交点(1,0);②当a=-1时,直线y=-1与抛物线的对称轴平行,恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零);③当a=-时直线与抛物线相切.
【变式训练1】若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点,则实数k的取值范围为( )
A.{1,-1,,-} B.(-∞,-]∪[,+∞)
C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪[,+∞)
【解析】由⇒(1-k2)x2-2kx-5=0,
⇒k=±,结合直线过定点(0,-1),且渐近线斜率为±1,可知答案为A.
题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题