圆锥曲线与方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　利用椭圆的定义解题

椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．

1．求最值

例1　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)

A．2 B. C. D．5

解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.

答案　C

2．求动点坐标

例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．

解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知

|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，

所以|PF1|·|PF2|≤2＝2

＝25，

当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．

由

解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，

此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，

即所求点的坐标为(±3,0)．

答案　(±3,0)

点评　由椭圆的定义可得"|PF1|＋|PF2|＝10"，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合