韦达定理的应用-教师版

一.综述

　　　直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.

二.例题精讲 破解规律

例1. 已知抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l_1与C交于A，B两点，设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)，证明：x_1 x_2=p^2/4，y_1 y_2=-p^2；

分析:设直线l_1的方程为：x=my+p/2，与抛物线联立得y^2-2pmy-p^2=0，利用韦达定理即可证得；

答案:见解析

解析:设直线l_1的方程为：x=my+p/2，

联立方程{█(x=my+p/2@y^2=2px) 化简得：y^2-2pmy-p^2=0,易知

所以y_1 y_2=-p^2，而x_1 x_2=(y_1^2)/2p⋅(y_2^2)/2p=p^2/4．

点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为x=my+n,这样联立方程消去x比较容易.

规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.

现学现用1: 椭圆C:x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)离心率为√6/3，F_1，F_2是椭圆的左、右焦点，以F_1为圆心，√3+1为半径的圆和以F_2为圆心、√3-1为半径的圆的交点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的下顶点为A，直线l:y=kx+3/2与椭圆C交于两个不同的点M,N，是否存在实数k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

解析：

（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为

（2）由题意知k≠0，联立方程{█(y=kx+3/2@x^2/3+y^2=1) ，整理得 ，

Δ=81k^2-4(1+3k^2)⋅15/4>0（化简可得），①

设，则，x_1 x_2=15/(4(1+3k^2)),设MN中点为H，