1.3.3 导数的实际应用（一）

教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-------面积、容积最大（最小）问题

教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤

教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值

教学过程：

例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

解：设箱底边长为xcm，则箱高

箱子容积(0＜x＜60)．

解得 (不合题意，舍去) 并求得

由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．

答：当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3．

在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f '(x)＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．

　　这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．

求最大（最小）值应用题的一般方法：

⑴ 分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；

⑵ 确定函数的定义域，并求出极值点；

⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点．

练习

1．把长为60 cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？

2．把长为100 cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？

变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？

练习2.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

例2．教材P34面的例1。