3.2.1 常数与幂函数的导数

一、教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数.

二、教学重点： 掌握复合函数导数的求法

　　教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导.

三、教学过程：

（一）复习引入

1. 几种常见函数的导数公式

　　(C )＝0 (C为常数)． (xn)＝nxn－1 (nQ)． ( sinx )＝cosx ． ( cosx )＝－sinx ．

2．和（或差）的导数 (u±v)＝u±v．

3．积的导数 (uv)＝uv＋uv． (Cu)＝Cu ．

4．商的导数

（二）讲授新课

1．复合函数：

如 y＝(3x－2)2由二次函数y＝u2 和一次函数u＝3x－2"复合"而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ．

像y＝(3x－2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．

练习：指出下列函数是怎样复合而成的．

复合函数的导数

　　一般地，设函数u＝(x)在点x处有导数u'x＝'(x)，函数y＝f(u) 在点x的对应点u处有导数y'u＝f '(u) ，则复合函数y＝f((x)) 在点x处也有导数，且 y'x ＝y'u·u'x．

　　或写作 f 'x ((x))＝f '(u) '(x)．

　　复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．

例1 求y ＝(3x－2)2的导数．

解：y'＝[(3x－2)2]' ＝(9x2－12x＋4)'＝18x－12． 法1

函数y ＝(3x－2)2又可以看成由y＝u2 ，u＝3x－2复合而成，其中u称为中间变量．

由于y'u＝2u，u'x＝3，

因而 y'x＝y'u·u'x ＝2u·3＝2u·3＝2(3x－2)·3＝18x－12．

法2 y'x＝y'u·u'x

例2 求y＝(2x＋1)5的导数．

解：设y＝u5，u＝2x＋1，

则 y'x＝y'u·u'x ＝(u5)'u·(2x＋1) 'x＝5u4·2＝5(2x＋1)4·2＝10(2x＋1)4．

例3. 教材P17面的例4

练习1.教科书P.18面 练习