2.2.1 综合法与分析法

考点一：综合法证明不等式

　　1.已知a，b，c>0.求证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．

[证明]　∵a2＋b2≥2ab，a>0，b>0，

∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．

∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2.

∴a3＋b3≥a2b＋ab2.

同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.

将三式相加得：

2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋bc2＋b2c＋a2c＋ac2，

∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．

　　∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．

　　2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：

　　①a2≥0(a∈R)．

　　②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，2≥ab，a2＋b2≥.

　　③若a、b∈(0，＋∞)，则≥，特别是＋≥2.

　　2.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，

　　求证：··≥8.

　　[证明]　∵

　　＝

　　≥＝＝8，

　　当且仅当a＝b＝c时等号成立，∴不等式成立.

考点二：分析法

1.已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.