考点一　导数与函数的单调性

1.(2018课标Ⅱ,12,5分)设函数f '(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0,当x>0时,xf '(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

答案　A

2.(2018课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(　　)

A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

答案　C

3.(2018山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28...是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为　　　　.

①f(x)=2-x　②f(x)=3-x　③f(x)=x3　④f(x)=x2+2

答案　①④

4.(2018江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是　　　　.

答案　

5.(2018山东,20,13分)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex·(cos x-sin x+2x-2),其中e=2.718 28...是自然对数的底数.

(1)求曲线y=f(x)在点(π, f(π))处的切线方程;

(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

解析　本题考查导数的几何意义和极值.

(1)由题意f(π)=π2-2,

又f '(x)=2x-2sin x,

所以f '(π)=2π,

因此曲线y=f(x)在点(π, f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.

(2)由题意得h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),

因为h'(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)

=2ex(x-sin x)-2a(x-sin x)

=2(ex-a)(x-sin x),

令m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x≥0,

所以m(x)在R上单调递增.

因为m(0)=0,

所以当x>0时,m(x)>0;当x<0时,m(x)<0.

①当a≤0时,ex-a>0,

当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,

当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,

所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

②当a>0时,h'(x)=2(ex-eln a)(x-sin x),

由h'(x)=0得x1=ln a,x2=0.

a.当0

当x∈(-∞,ln a)时,ex-eln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;

当x∈(ln a,0)时,ex-eln a>0,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,ex-eln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.

所以当x=ln a时h(x)取到极大值,

极大值为h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],

当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

b.当a=1时,ln a=0,

所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;

c.当a>1时,ln a>0,

所以当x∈(-∞,0)时,ex-eln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;

当x∈(0,ln a)时,ex-eln a<0,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(ln a,+∞)时,ex-eln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.

所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;

当x=ln a时h(x)取到极小值,