三垂线定理（2）

课 型：新授课

一、课题：三垂线定理（2）

二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；

　　　　　　　2．能在新的情景中正确识别定理中的"三垂线"，并能正确应用．

三、教学重、难点：三垂线定理的应用。

四、教学过程：

（一）复习：

1．三垂线定理及其逆定理的内容；

2．练习：

　　已知：在正方体中，求证：（1）；（2）．

（二）新课讲解：

例1．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．

　　　证明：连结，

∵，且

∴（三垂线定理逆定理）

同理，∴为的垂心，

∴， 又∵，

　　∴（三垂线定理）

【练习】：所在平面外的一点在平面内的射影为的垂心，

求证：点在内的射影是的垂心．

例2．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面 上的射影，求证：不可能是的垂心．

证明：假设是的垂心，连结，则，

∵

∴是在平面内的射影，

∴（三垂线定理）

又∵，是在平面内的射影

∴ （三垂线定理的逆定理）

∴是直角三角形，此与"是锐角三角形"矛盾

∴假设不成立，所以，不可能是的垂心．

例3．已知：如图，在正方体中，是的中点，

是的交点，求证：．

证明：，是在面上的射影

又∵，∴