课堂探究

　　探究一 求曲边梯形的面积

　　1．求曲边梯形的面积时要按照分割-近似代替-求和-取极值这四个步骤进行．

　　2．近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．

　　3．求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋...＋n＝，12＋22＋...＋n2＝等．

　　【典型例题1】 用曲边梯形面积的计算方法求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝3x所围成图形的面积．

　　思路分析：严格按照分割-近似代替-求和-取极限这四个步骤进行计算求解．

　　解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间(i＝1,2，...，n)．

　　每个小区间的长度为Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为ΔSi(i＝1,2，...，n)．

　　(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．

　　ΔSi＝fΔx＝3··＝(i－1)(i＝1,2，...，n)．

　　(3)求和：Si＝(i－1)＝[1＋2＋...＋(n－1)]＝·＝.

　　(4)取极限：S＝ (i－1)＝ ＝.

　　故所求面积等于.

　　探究二 用定积分的定义求定积分

　　用定积分的定义求定积分与求曲边梯形的面积的步骤是相同的，即分割-近似代替-求和-取极限．其中，被积函数就是曲边梯形的曲边对应的函数，积分的上、下限分别是曲边梯形中垂直于x轴的两条直线与x轴交点的横坐标值，面积的值就是相应定积分的值．

　　【典型例题2】 用定义求定积分(x2＋2x)dx.

　　解：设f(x)＝x2＋2x.

　　①将区间[0,1]平均分成n等份，则Δxi＝.

第i个区间为(i＝1,2,3，...，n)．