直线、平面垂直的判定

【学习目标】

1．了解空间直线和平面的位置关系；

2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理；

3．理解直线与平面所成的角的概念。会求直线与平面所成的角；

4．理解二面角及二面角的平面角的概念，会求一些简单的二面角的大小；

3．能利用直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理解决与其相关的问题。

【要点梳理】

要点一、直线和平面垂直的定义与判定

1.直线和平面垂直的定义

如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.

要点诠释：

(1)定义中"平面内的任意一条直线"就是指"平面内的所有直线"，这与"无数条直线"不同，注意区别.

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.

(3)若，则.

2.直线和平面垂直的判定定理

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

图形语言：

符号语言：

特征：线线垂直线面垂直

要点诠释：

(1)判定定理的条件中："平面内的两条相交直线"是关键性词语，不可忽视.

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.

相关的重要结论

①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．

②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．

③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．

要点二、直线与平面所成的角

1．直线与平面所成角的定义

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

要点诠释：

(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.

(2)直线与平面垂直时射影是点.