1．3.2　函数的极值与导数

　　　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．

　　2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

　　1．极小值点与极小值

　　(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0.

　　(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.

　　(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

　　2．极大值点与极大值

　　(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0.

　　(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.

　　(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

　　3．极值的定义

　　(1)极小值点、极大值点统称为极值点．

　　(2)极大值与极小值统称为极值．

　　1．对极值的认识

　　(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的．极值点是区间内部的点而不是端点．

　　(2)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．

　　2．对函数取极值条件的认识

　　(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即"函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．"

　　(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在点x0左侧和右侧f′(x)的符号不同．

　　3．对函数极值点的认识

　　(1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．

(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点