1.4导数在实际生活中的应用

面积、体积最大问题 　　[例1]　用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

　　[思路点拨]　不妨设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝＝(4.5－3x)m.建立长方体的体积函数模型，再求最值．

　　[精解详析]　设长方体的宽为x m，

　　则长为2x m，

　　高为h＝＝(4.5－3x)m.

　　故长方体的体积为

　　V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3.

　　从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．

　　令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)，或x＝1，因此x＝1.

　　当00；

　　当1

　　从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

　　故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.

[一点通]　在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．