科目：数学 教师： 授课时间： 第 周 星期 2017年 9 月 日

单元（章节）课题 北师大版必修五 第 一章 数列 本节课题 3.1 等比数列前n 项和（第二课时） 三维目标 1.知识与技能

　　（1）理解等比数列的前项和公式的推导方法。

　　（2）掌握等比数列的前项和公式，能运用公式解决一些相关问题。

2.过程与方法

通过具体问题的分析与解决，感受公式探求过程所蕴涵的思想方法，再经历模仿具体问题的解法，过渡到一般等比数列的前项和公式的探索，理解并感悟推导公式的思想方法。

3.情态与价值 学+ + ]

通过对公式的探索过程，学生经历解决问题时，由具体到抽象，由特殊到一般的思维方法，有利于优化学生的思维品质，提高学生的探究、分析与解决问题的能力。公式推导与应用中的分类讨论思想，有利于对学生进行思维严谨性的训练。

提炼的课题 用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题 教学重难点 教学重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用。

教学难点：等比数列的前项和公式推导方法的理解。 教学手段运用

教学资源选择 多媒体教室 教 过 程 环节 学生要解决的问题或任务 教师如何教 　　学生如何学 　回顾

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学案

复习回顾：1.等比数列前n项和公式的应用

（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.

（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.

2.等比数列前n项和公式与函数的关系

(1)当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.

当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.

(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,...,Sn,...的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,...,Sn,...的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.

［例］　某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25 ，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.

（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；

（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；

（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)

［解析］　(1)第一年年底本利和为a+a·25 =1.25a,

第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)×25 =1.252a-1.25x,

第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25 =1.253a-(1.252+1.25)x.

(2)第n年年底本利和为

bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+...+1.25)x. ]

(3)依题意，有

395×1.2520-(1.2519+1.2518+...+1.25)x=4×395,

∴x=

=.　　　　　　　　①

设1.2520=t,∴lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.

∴t=100,代入①解得x=96.

知能自主梳理

1.等比数列前n项和公式 ]

（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn= = ;当q=1时，Sn= .

(2)推导等比数列前n项和公式的方法是 .

2.公式特点

（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为　　　　.

（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知 　求 .

［答案］　1.（1）　　na1　(2)错位相减法 , , ]